共轭复根,微分方程共轭复根β可取负值吗

首先，对于常系数二次微分方程y”+ay’+by=0，如果y1，y2均满足该方程，那么其线性组合必然也满足该方程共轭复根。

证明：

y1”+ay1’+by1=0

y2”+ay2’+by2=0

则：

(k1y1+k2y2)”+a(k1y1+k2y2)’+b(k1y1+k2y2)

=k1y1″+k2y2″+k1ay1’+k2ay2’+k1by1+k2by2

=k1(y1”+ay1’+by1)+k2(y2”+ay2’+by2)

=0

得证。

然后，你可能不理解那个虚数单位i去哪里了。事实上，i是一个常数，就像1,2,3……等等，只不过是个虚常数，线性组合时可以除掉的！应该明白了吧。

举例：

微分方程：y”+py’+qy=0 (1)

其特征方程：

s^2+ps+q=0 (2)

若解出共轭复根：

s1=a+bi

s2=a-bi

那么(1)的通解：

y(x)=e^(ax)[c1 cos(bx) + c2 sin(bx)] (3)

若：p=q=2 那么：a=-1，b=1；

y(x)=e^(-x)(c1cosx+c2sinx) (4)

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