自然数包括什么（自然数集包括哪些）
自然数包括什么(自然数集包括什么)
等式
一、方程:
1.概念:平等的表达称为平等(即带等号的表达)。
2.性质:(1)如果在方程的两边同时加或减同一个数，结果仍然是方程；
(2)如果方程的两边同时乘或除不等于0的同一个数，结果仍然是方程。
3.方程和方程的关系:方程一定是方程，方程不一定是方程。方程式范围(方程式范围)
二、方程:
1.定义:未知数的方程就是方程。
2.解方程:解方程中未知的过程称为解方程(“解”)。
注:(1)解完方程记得检查。
(2)方程的解:
3.列方程解的应用问题:(“解”和“集”)
(1)一般步骤(1)复习问题，找出关键信息；
(2)根据关键信息找到数量关系；
(3)根据数量关系求解方程；
(4)检查作为已知信息的结果。
(二)主要依据
(1)常见数量关系:单价×数量=总价。
速度×时间-距离(可以用线图找到相等关系，然后求解。)
工作效率×工作时间=工作总量
(2)平面图形计算公式:正方形周长=边长×4；正方形面积=边长×边长
矩形周长=(长+宽)×2；矩形面积=长×宽
平行四边形周长=(长+宽)×2；平行四边形面积=底部×高度
三角形面积=底×高÷2；梯形面积=(上底+下底)×高度÷2
(3)
多多少倍(少)多少倍:首先，确认双量是已知还是未知，如果未知，则跟随
一次性量×几次+多(少)=比较量，这个关系式比较容易解。
和(差)倍:一般让“一份”(或一次)为X，另一份为它的几倍。
对于“少数”x，根据其加减关系(和或差)列出方程式。
注:(1)解方程，写“解”；
(2)解列方程的应用问题要写“解”和“集”。
(3)连续三个自然数(或连续奇数和连续偶数)之和等于中间数的三倍。
折线统计图
分类:单式折线统计图(优点:便于观察事物的数量和增减。)
多线统计图(优点:便于观察两组数据的大小关系和数据的增减情况。)
绘画:标记点，标记数据，连接线条和书写日期。
因子和倍数
一、定义:
概念:整数除法中，如果商是整数，没有余数，我们说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因子。
定义:比如2×5=10，5和5都是10的因子，10是2和5的倍数。
注意:
(1)因素和倍数相互依赖。不能说10是倍数，5是因子；
(2)为了方便，我们在研究因子与倍数的关系时，提到的数字是指自然数(一般不含0)。
(3)求一个数的因子的方法是:列除法公式或乘法公式；(从小到大)
(4)一个数的因子个数是有限的，最小因子为1，最大因子为本身；
(5)求一个数的倍数的方法:列乘法公式；(从小到大枚举)
(6)倍数的个数是无限的，最小的倍数是本身，没有最大的倍数。
二、二、三和五的倍数
1和2的倍数特征:个位数是0、2、4、6和8，所有位数都是2的倍数。
注意:2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
0是最小的偶数。
2和5的倍数的特征:个位数是0，5的个数是5的倍数。
注意:一位数为0的数字既是2的倍数，也是5的倍数。
3，3的倍数特征:如果每个数字上的数字之和是3的倍数，那么这个数字就是3的倍数。
注意:要求多个条件的倍数，先看2，5，再看3。
练习:有三个数字0、6和9，根据需要组成两位数。
和积奇偶性
整数和与积的奇偶性
100以内的质数
思考:如果让你找100以内的质数，你会如何一步一步缩小范围？
素数和合数
一、定义:
质数:只有两个因素，1和本身。像这样的数字叫做质数。
{100内的素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89。
如何判断一个数是否为质数:用试除法判断一个自然数A是否为质数，用所有质数从小到大依次去掉A。如果一个素数可以整除，就可以断定它不是素数；如果不能整除，就可以断定A一定是素数。
数字:除了1和本身还有其他因素。像这样的数字叫做数字。
质因数:如果一个数的因数是质因数，那么这个因数就是它的质因数。
注:(1)1既不是素数，也不是合数；但它是任意整数的素数。
(2)2是最小的素数，2是唯一的偶数素数；(区分偶数素数和奇数素数)
(3)4是最小的合成数；
(4)5是唯一一个位为5的素数；
(5)100以内有25个素数和74个合数。
(6)★两个不同质数之和为奇数，一个质数必须为2(根据和的奇偶性理解)
(7)★两个不同质数之和为偶数，两个质数均为奇数。
(8)三个不同质数的和是偶数，这三个数必须是两个和两个奇数质数。
(9)10以内的质数位只能是1、3、7、9。
(10)绝对质数:一个两位数的质数，在一位数和十位数互换后仍然是质数。
(例如:11、13、31、17、71、37、73、79、97)
分解素因子:将一个复合数分解成若干个素因子，这些素因子不断相乘。
注:(1)分解直到所有因子都是素数；
(2)一个数分解质因数的结果是唯一的；
(3)最终结果要写成素因子指数乘法的形式(2，指数为3，表示2的三次乘法)
2.方法:(1)逐次法(2)短除法
注:(1)先把要分解的数写在短除数“∟”里；
(2)在素数表中从小到大尝试，直到商为素数；
(3)最后，以连续乘法的形式写出每个除数和最终商。
3.问题类型:反转已知产品的原始数量。
(1)首先求解积分质因数(2)使用质因数来聚集因数。
公因子
1.定义:公因数:几个数共有的因数，其中最大的称为最大公因数。
2.表示法:一般两个数A和B的最大公因数记录为(A，B)，例如(12，8)=6。
三、寻求最大公因数的方法:
(1)短除法:用短除法求最大公因式，最后除法直到两个数为素数，短除法符号左边的所有数相乘得到最大公因式，短除法的最后两个商数必须为素数。
注:(1)两个公因子只有1的非零自然数称为质数。
(2)如果a和b是素数，a < b，那么它们的最大公因数是a，最小公倍数是a×b；
判断两个数的相互性的方法；
(1)两个不同的素数必须是素数；
(2)两个相邻的自然数必须是素数；
(3)如果一个素数不能被另一个合数平均除，这两个数就是素数；比如3和10，5和26；
(4)1既不是素数，也不是复数。它是任意自然数的素数。
(2)枚举法:这种方法用于求两个数的一般关系的最大公因式。
第四，注意:
(1)1是所有非零自然数的公因数。
(2)两个数的公因子是它们最大公因子的因子；
(3)多重关系的两个数，最大公因数是这两个数中较小的一个；
(4)两个数为素数，最大公因数为1；
(5)求已知被除数的除数就是求公因数。
问什么最多，就是找到最大公因数(最大和最大)。
公倍
1.定义:数的公倍数，其中最小的称为最小公倍数。
2.表示:a和b的最小公倍数是[a和b]
3.注意:
(1)两个数的公倍数是其最小公倍数的倍数；
(2)两个数的倍数关系，最小公倍数是这两个数中较大的一个。
(3)两个数是素数，最小公倍数是这两个数的乘积。
(4)用短除法求最小公倍数，最后除到两个数为质数。除了短符号以外的所有数字相乘的最小公倍数。
(5)当股息未知时，通常会找到公倍数。(最低，最低，至少)
分数的意义和性质
定义:把单位“1”平均分成几个部分，这样的一个或几个部分的个数称为“分数”。代表其中一个的数字称为分数单位。、
单位“1”:一个物体、一个计量单位或一个整组可以用自然数1来表示，通常称为单位“1”。(单位“1”后面通常跟“占用”或“是”)
分数表示两个相似量之间的关系，或者一个部分和整体之间的关系。
分数后面有个单位，表示具体数量；没有单位，就是百分比。
分数与除法的关系:两个数的除法也可以用分数来表示。被除数相当于分子，除数相当于分母。a÷b= (b≠0)
除法与分数的关系
应用(1)求一个数是另一个数的分数，然后用除法计算。(除法的商用分数表示)
方法:用“占”字前的数字除以其后的数字，写分数。
(2)分数与小数的相互转换和比较。
2.分类
(1)真分数:分子-分母的分数。
(2)假分数:分子≥分母的分数(包括分数和1)
分数:由非零整数和真分数组成的数，是假分数的另一种形式。
注:(1)所有有分数的分数都是真分数。
(2)比较大小:0-真分-1 ≤假分
★分数与假分数的互换性
(1)假分数段分数:
假分数
注意:余数为0时，可以变成整数。
(2)有分数假分的:
分数错误分数
3.近似分数和一般分数
(1)基础:分数的基本性质:(类比除法中商的不变性质)
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小保持不变。
(乘法-展开；除以约)
(2)近似分数:等于它且分子和分母较小的分数称为近似分数。
最简单分数:分子和分母只有一个公因数为1的分数称为最简单分数。
注:预约时，报价通常是最简单的分数。
(将原始分数的分子和分母直接同时除以分子和分母的最大公因数)
流程:
部分过程
方法:设置方法
(3)总分:分母不同的分数(也称不同分母分数)分别换算成与原分数相等的相同分母分数，称为总分。
公分母:同一个分母叫做公分母。
注:通常，原始分母的最小公倍数用作公分母。
(4)申请-分数比较
(1)分子分数与分母的比较:分子越大的分数越大；
(2)不同分母分数对比:分子:分子相同，分母小的分数较大；
公分母:分母相同，分子越大分数越大。
注:分子一般适用于分母大，不易除的情况。
四、分数和小数的倒数:
1.小数:利用分数与除法的关系，将分数写入除法公式，然后计算，并按要求保留小数。(分子除以分母，将分数转化为除法公式，计算商；)
2.抽取分数:一个小数位表示十分之几，两个小数位表示百分之几，三个小数位表示千分之几……然后简化。(十进制到分数:几个小数位，一个小数位，分母为10；两位小数，分母是100...)
注:小数后，可分为最简单小数的报价。
常用分数和小数:
常见小数位数
分数的加法和减法
一、相同分母分数的加减:
方法:分母不变，分子加减。
注:结果是最简单的分数。
二、不同分母分数的加减:
方法:先通过评分，再根据同分母的加减分计算。
注意:结果一定会分配给最简单的分数。
三个或三个以上不同分母分数的加减:先通过两个分数，再通过第三个分数；三个分数也可以同时得分，就像求两个分数的公分母一样。
分数加减法:
方法:用分数加减，分别加减整数部分和分数部分，然后合并结果。
分数1基本性质的应用
分数ⅱ基本性质的应用
分数加减混合运算
分数加减运算顺序:
没有括号时，从左到右计算；
当有括号时，先从括号内和括号外数一数。
分数的简单运算:
原理:利用加减法法则进行简单计算(先找到相同的分母分数，再利用运算法则。)
加法交换律和结合律用于舍入。
(先加减分母相同的分数)
整数和小数中去掉括号的规则也适用于分数。
通过添加和移除括号进行巧妙的计算。
利用连续约简的性质进行舍入计算；(带符号的移动和递减属性)
利用加法交换律和加法组合律的群舍入计算
4.分数和小数的混合运算:如果分数可以转化为有限小数，通常更容易将分数转化为小数；如果分数不能减少到有限小数，应该重新计算小数。
分数的应用
对圆的理解
一、圈子的概念
1.圆的定义:
(1)在同一平面上，一组点到固定点的距离等于固定长度的点称为圆。这个不动点叫做圆心。
(2)当一条线段绕其在平面中的一个端点旋转一次时，其另一个端点的轨迹称为圆。
2.圆的外观特征(或属性):
是平面轴对称图形，对称轴是通过圆心的任意直线(或直径所在的直线)；
是一个以圆心为对称的图形，它的对称中心就是圆心。
圆由没有顶点的曲线组成。(其他多边形由带顶点的线段组成)
3.画圆:
画圆时，先设定笔尖与笔尖的距离(即圆的半径)，将笔尖固定在一个点(中心o)，转动笔尖一次，完成一个圆。
4.圆的组成:
圆的构成
5.圈子的影响因素:
定位:圆心
或尺寸:半径或直径
6.圆的计算
圆的计算
的公共π值
周长的计算:
(1)半圆的周长=周长的一半+直径
(2)不规则图形的周长:
组成:首先确定周长是由几条曲线或线段组成；
分解或结合:通过分解或结合
计算:应用圆的周长公式计算结果。
平分圆问题:圆周的构成必须包含一个圆。
注意:几个相等的圆圈必须依次紧紧地绑在一起。
奥林匹克数学内容
面积计算:
计算已知半径或直径的面积:直接代入公式；
计算周长已知的面积:先计算半径，再计算面积；
求扇面面积:找出扇面所在圆的面积，然后看扇面面积有多大，从而找出扇面面积。
圆的面积=圆的面积÷2
圆的面积÷4
圆的面积÷4×3
不规则图形的面积:用挖补法将图形分割重组为规则图形。
圆环、半环、扇形环
圆环的相对面积公式
找到阴影区域:
整体减空白色区域:
用截补法求面积
7.圆的相关概念
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