自然数集的建立——归纳公理：为什么1+1=2

想必大家都会经常被小朋友问，1+1为什么会等于2？通常很多人会回答，因为一个手指加一个手指等于两个手指啊或者说一个苹果加一个苹果就是两苹果啊，这样回答小孩子是完全没有问题的。 当我们长大之后，要是我们再去问别人1+1为什么会等于2时，是会被笑大话的，但是大家有没有想过，它的理论依据是什么呢？要想知道这个问题，那么就不得不提一下自然数集的两大理论之一：序数理论

序数理论有很多，这里给出皮亚诺公理以及自然数的加法定义，这就能说明1+1=2了

皮亚诺公理：

定义：一个非空集合N的元素叫做自然数，如果N的元素间有一个基本关系“后继”（用符号“ ’ ”表示），并满足下列公理：

（1）1∈N，对任意的a∈N，a'≠1。

（2）对任何a∈N，有唯一的后继a'（即a=b推出a'=b'）。

（3）1以外的任何元素，只能是一个元素的后继元素(即a'=b'推出a=b)。

（4）（归纳公理）若M包含于N，且

1） 1∈M；

2） a∈M推出a'∈M，

则M=N。 （此定义摘自初等数学研究，李长明，周焕山编，由于编书年代早，此时0是不属于自然数集的，属于扩大的自然数集）

说明：由公理（1），1是自然数的开头；由公理（2），1‘（1的后继）的是唯一确定，记为2，2'(2的后继)唯一确定，记为3；等等。 公理（3）说明不同的自然数的后继数不同，所以自然数集中没有两数相等或相同，于是得到自然数列：

1，2，3，4，...，n，...

那么，说这些有什么用呢？下面就是要给出自然数的加法定义：

1） 设a∈N，则a+1=a'；

2） 设a，b∈N，则a+b'=(a+b)'。

回到开头1+1为什么会等于2

由加法定义

a+1=a'

所以令a=1，有

1+1=1'

又由于公理（3）有1’=2

所以1+1=2

这就是1+1=2的理论依据。

对于普通人来说，知道这个确实没有什么用。 但是它里面精准的定义及严谨的思维，可以帮助我们对于事物的本质有着深刻的理解；这正是我们所需要的。

最后镇楼

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