静矩矩阵

平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。 一般用S来表示。 静距的量纲为长度的3次方，也就是L3。 有时候又称为截面面积矩。 一阶矩又叫静矩，是对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。 力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩，几何上可以用来计算重心，统计学中叫做数学期望（均值）。 平面图形对指定轴线的静矩等于微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分。 这表明，平面图形对z轴和y轴的静矩分别等于图形面积A乘形心的坐标y和z。

中文名

静矩

外文名

static moment

所属学科

物理

别名

截面面积矩

表示符号

S

简介

矩有一阶矩、二阶矩以及更高阶的矩，我们统称高阶矩，而最常用的则是一阶矩和二阶矩。 [1]

一阶矩又叫静矩，是对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。 力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩，几何上可以用来计算重心，统计学中叫做数学期望（均值）。

平面图形对指定轴线的静矩等于微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分。

当坐标轴通过图形的形心时，其静矩为零；反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

简单推导

任意平面图形如右图所示，其面积为A，y 轴和 z 轴为图形所在

平面内的坐标轴，在坐标（y , z）处取微面积dA，遍历整个图形面积A的积分

（i.1）

分别定义为图形对z轴和y轴的静矩，也称为图形对z轴和y轴的一次矩。

从（i.1）看出，平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，不同图形对不同的坐标轴，其静矩也就不同。 静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。 静矩的量纲为[长度]。

设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板的形状与右图中的平面图形相同。 显然，在yz坐标系中，上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标y和z由静力学可知，薄板重心的坐标y和z分别为

（I.2）

这也就是确定平面图形的形心坐标的公式。 利用（i.1）可以把式（i.2）改写成

（i.3）

所以，把平面图形对z轴和y轴的静矩，除以图形的面积A，就得到了图形形心的坐标y和z。 把上式改写成

（i.4）

这表明，平面图形对z轴和y轴的静矩分别等于图形面积A乘形心的坐标y和z。

由以上两式看出，若S=0和S=0，则y=0和z=0。 可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。

（以上推导，部分参考了山东大学的冯维明老师所编写《材料力学》一书，表示衷心感谢，亦在此注明，请勿抄袭）

参考资料

1.一阶矩、二阶矩含义 ·|学步园

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