行列式Dn=5 3 0 … 0 0 2 5 3 … 0 0 0 2 5 … 0 0 … … …

解:设所求n阶行列式为D(n),设

A(n+1)=

2 3 0 0 。 。 。 。 。 。 0 0

0 5 3 0 。 。 。 。 。 。 0 0

0 2 5 3 。 。 。 。 。 。 0 0

0 0 2 5 。 。 。 。 。 。 0 0

0 0 0 0 。

。 。 。 。 。 5 3

0 0 0 0 。 。 。 。 。 。 2 5

当n1时,原式按第一行展开得

D(n+2)=5D(n+1)-3A(n)=5D(n+1)-6D(n)。

这是二阶常系数线性差分方程,解特征方程t^2-5t+6=0得

(t-2)(t-3)=0

t=2或t=3

因此

D(n)=C1·2^n+C2·3^n (2^n表示2的n次方)

这里C1、C2为常数。

容易求得

D(1)=5,D(2)=5×5-2×3=19。

也就是

2C1+3C2=5

4C1+9C2=19

解得

C1=-2

C2=3

因此

D(n)=-2·2^n+3·3^n

即D(n)=3^(n+1)-2^(n+1)。

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