幂函数图像及性质（幂函数和指数函数图像汇总）

1、幂函数的概念

一般地，函数

叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使

有意义的值的集合。

例1、已知幂函数

，且当

时

为减函数。求幂函数的解析式。

分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。

解答：由于

为幂函数，

所以

，解得

，或

。

当时，

，

在上为减函数；

当时，

，

在上为常函数，不合题意，舍去。

故所求幂函数

的解析式为

。

2、幂函数的图象和性质

图象：

性质：

（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；

（2）如果

，则幂函数的图象过点

和，并且在区间

上是增函数；

（3）如果

，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从

趋向于原点时，图象在

轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。

例2、比较

，，

的大小。

分析：先利用幂函数

的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。

解答：

而在上单调递增，且

，

。故

。

例3、若函数

在区间

上是递减函数，求实数m的取值范围。

分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

函数

是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是

，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在

和上都是递减函数。一般地，形如

的函数都可以通过对

的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。

解答：由于

，所以函数的图象是由幂函数

的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。

其单调递减区间是

和

，而函数在区间

上是递减函数，所以应有

。

例4、若点

在幂函数

的图象上，点

在幂函数

的图象上，定义

，试求函数

的最大值及其单调区间。

分析：首先根据幂函数的定义求出

，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出

的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答：设

，因为点在的图象上，所以

，所以

，即；

又设

，点在的图象上，所以

，所以

，即

。

在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有

。

根据图象可知函数的最大值等于

，其单调递增区间是（

，－1）和（0，1）；单调递减区间是

和

。

例5、已知幂函数

是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论

的奇偶性。

分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论

的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答：由在上是减函数得

，

。∵

，

0，1。

又因为是偶函数，∴只有当

时符合题意，故

。

于是

，

。

当

且

时，为非奇非偶函数；

当

且时，为奇函数；

当且

时，为偶函数；

当且时，为既奇又偶函数。

例6、已知幂函数

在

上是增函数，且在定义域上是偶函数。

（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中求得的函数，设函数

。问是否存在实数

，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出

的值；若不存在，请说明理由。

分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答：（1）∵幂函数

在上是增函数，∴

∴

又

，∴

∵在定义域上是偶函数，∴只有当

时符合题意，故。

（2）由，则

。

假设存在实数，使得满足题设条件。令

，则

。

∵在上是减函数，∴当

时，

；当

时，

。

若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则

在

上是减函数，且在

上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是

即

，

∴

。

故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。

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