常用等价无穷小,怎么求一个式子的等价无穷小?

依次求该函数和其各阶导数在某一点的值即可常用等价无穷小。

由Taylor公式易证:

如果函数f(x)满足:

f(a)=f'(a)=f”(a)=……=f(n-1)(a)=0,f(n)(a)≠0,则当x→a时,f(x)是(x-a)^n(即x-a的差的n次方)的同阶无穷小量。这里f(n)(x)表示f(x)的n阶导数。

判定这一点之后,再由洛必达法则不难证,在前述条件下,n!(x-a)^n/f(n)(a)和f(x)是x→a时的等价无穷小量。

①记住x→0时的一些常用的等价无穷小关系式：

sinx～x，tanx～x，e^x-1～x，

arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，

1-cosx～(x^2)/2，(1+x)^a-1～ax，

……；

②上述关系式具有形式不变性，即

若 x→0时，有 u→0，那么有sinu～u，tanu～u，e^u-1～u，……

③记住无穷小等价关系具有传递性，即

若 p(x)～q(x)，q(x)～r(x)，则 p(x)～r(x)；

④记住 x→a 时，先作换元 t=x-a，转化为 t→0 的情况，再套①中的公式。

【举例】①x→0时，有 x^2→0，那么有:[(1+x^2)^(1/3)]-1～(1/3)x^2；

②x→0时，ln(cosx)=ln[1+(cosx-1)]～cosx-1～(-1/2)x^2；

③x→π时，求A,k，使sin(3x)～A(x-π)^k，

解：令t=x-π，即x=π+t，则

sin(3x)

=sin(3π+3t)

=-sin(3t)

～-3t

=-3(x-π)，

即A= -3，k=1。

④x→1时，求A,k，使(x^3-3x^2+3x)^(2x-2)-1～A(x-1)^k。

解：令t=x-1，即x=1+t，则

(x^3-3x^2+3x)^(2x-2)-1

=(1+t^3)^(2t)-1

=e^[2tln(1+t^3)]-1

～2tln(1+t^3)

～2t^4

=2(x-1)^4。

即A=2，k=4。

。

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