曲率怎么求,曲率、曲率半径的概念及求法
曲率曲率怎么求：表示曲线弯曲程度的量. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。
曲率的倒数就是曲率半径。
圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。 曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。曲率半径的倒数就是曲率。曲率 k = (转过的角度/对应的弧长）。当 角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。而对于圆，曲率不随位置变化。
参考：/view/562504.htm
这涉及到微分方程。
曲率
k(x)
=
|y”|/[1+(y’)^2]^(3/2);
当y>0时,从图中可以知道曲线是凸的,则此时y”<0;
则
k(x)
=
-y”/[1+(y’)^2]^(3/2);
y”
=
-k(x)·[1+(y’)^2]^(3/2);
令
p=y’,则
y”=dp/dx;
则:
dp/dx
=
-k(x)·(1+p^2)^(3/2);
分离变量:
dp/(1+p^2)^(3/2)
=
-k(x)·dx;
两边积分:
∫1/(1+p^2)^(3/2)
dp
=
-∫(0,x)k(x)·dx;
计算左边的积分:令
p=tan
u,
则
dp=du/cos^2
u;
1/(1+p^2)^(3/2)=1/(sec^2
u)^(3/2)
=
1/sec^3
u
=
cos^3
u;
则
∫1/(1+p^2)^(3/2)
dp
=
∫cos^3
u
·du/cos^2
u
=
∫cos
u
·du
=
sin
u
-C1
=
sin
arctan
p
-C1
即:
sin
arctan
p
=
-∫k(x)·dx
+C1;①
→arctan
p=
arcsin[-∫k(x)·dx
+C1];
p
=
tan{arcsin[-∫k(x)·dx
+C1]}
=[-∫k(x)·dx
+C1]/√{1-[∫k(x)·dx
+C1]^2}
而曲线在O点与y轴相切，则可知极限
lim(x→0)y’,即lim(x→0)p=∞,则由①得
-∫(0,0)
k(x)·dx
+C1
=sin(π/2)=1;
→C1
=
1;
则
y’=p=[-∫k(x)·dx
+1]/√{1-[∫k(x)·dx
+1]^2}
积分得
y=∫(0,x)
[-∫k(x)·dx
+1]/√{1-[∫k(x)·dx
+1]^2}
dx
+C2;
而y(0)=0,
∴代入得C2=0;
则
y=∫(0,x)
[-∫k(x)·dx
+1]/√{1-[∫k(x)·dx
+1]^2}
dx
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