倍数与因数（五年级数学上册倍数与因数知识）

倍数与因数（五年级数学上册倍数与因数知识）乘法和因子(五年级数学上册)

一、概念描述

现代数学:如果整数A能被自然数B整除，那么A叫B的倍数，B叫除数(也叫因子)；如果整数a不能被自然数b整除，说明a不是b的倍数，或者b不是a的除数。

小学数学:小学数学教材中一般都描述了因子和倍数的概念。2004年北京版教材第10册第46页指出，如果数A能被数B整除，则A称为B的倍数，B称为A的除数(即因子)。例如，15可以被3整除，3是3的倍数，是15的因子。2013年人教版教材五年级第二册第12页指出，2x6=12，2和6是12因子，12是2和6的倍数。

二.概念解释

(1)因子和倍数的表达

因子和倍数代表一个数和另一个数之间的关系。它们是两个相互依存的概念，不能单独存在。所以在叙述中，一定要说明哪个数是哪个数的因子或倍数，但不能说某个数是因子或倍数。例如，对于153=5，15是3的倍数，3是15的因子；不能说15是倍数，3是因子。

(2)求一个数的因子的方法

比如18的因素是什么？乘法思考:哪两个整数乘以18的乘积？18=118, 18=29 .....用除法思考:181=18，182=9......

一个数的因子可以从1开始找，也就是从最小的因子到它本身(比如18的因子是1，2，3，6，9，18)，也可以成对找(比如18的因子是1和18，2和9，3和6)。

(3)求一个数的倍数的方法

比如你能找到多少2的倍数？从2的1倍开始，然后是2倍和2的3倍…你也可以这样想:2x1=2，2x2=4，23=6…...

学生会发现你一直找不到，也就是说有无数个2的倍数。

(4)因子和倍数的特征

一个数的最小因子是1，最大因子是它本身，它的因子个数是有限的。

一个数的最小倍数是它自己，没有最大倍数，它的倍数的个数是无限的。

(5)有趣的数字

①完全数，又称完全数。

自然数的所有真因子之和等于它自己。这样的自然数叫做完全数。

真正的因素除了本身都是积极的因素。例如，6的因子是:1、2、3和6。除了本身的6，其余三个因子1、2、3都是6的真因子。把这三个真因子加起来——1+2+3 = 6，它们的和正好等于本身，所以6是一个完全数。

再比如28，把它所有的真因子加起来——1+2+4+7+14 = 28，它们的和正好等于它本身，所以2资源网8也是一个完全数。

十大完美数字是:

6(1位)

28(2位)

496(3位数)

8128 (4位)

33550336(8位)

8589869056 (10位数)

137438691328(12位数字)

2305843008139952128(19位数字)

2658455991569831744654692615资源网络953842176( 37位)

19156194260823610729479337808430363813097321548169216(54位)

古希腊数学家毕达哥拉斯是第一个研究完全数的人。自诞生以来，完全数吸引了众多数学家和业余爱好者如淘金般寻找。目前已发现47个完全数，全部为偶数，尾数为6或8，所以人们都在猜测是否会出现奇数完全数。

完全数有许多有趣的性质:

A.每个完全数都可以写成连续自然数(三角数)的和。

示例:6=1+2+3

28= 1+2+3+4+5+6+7

496= 1+2+3+...+30+31

B.每个完全数所有因子的倒数之和等于2，所以每个完全数都可以称为调和数。

例如:1/1+1/2+1/3+1/6 =2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2

C.除了6之外的每个完全数都被相加，直到它变成一个位数，这个位数必须是1。这也可以看做:除了6以外的所有完全数都被9除，都保持1。

例如:28-2+8 = 10，1+0 = 1

496 - 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

②数量不足和丰富。

对于数字“4”，它的真因子是1和2，它们的和是3，比4本身小。像这样的自然数叫做亏数。

对于数字“12”，它的真因子是L、2、3、4和6。他们的总和是16，比12本身还大。像这样的自然数叫做大数。

因此，完全数是既不盈余也不赤字的自然数。

③相亲人数，也称亲友人数。

在两个正整数中，彼此所有真因子的和等于另一个的和。

例如，220和284，220的所有真因子之和是1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284。284的所有真因子之和是1+2+4+71+142= 220。

因此，220和284是一对亲和数。它是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，是人类已知的第一对也是最小的一对亲和数。现在，人们已经找到了1200多对夫妇。

人们发现的前十对亲和数分别是:220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368、10744和10856、12285和14595、1729、资源网6和18416、63020和76084

人们还研究友好的数链:它是一系列自然数，其中每个数的真因子之和等于下一个数，最后一个数的真因子之和等于第一个数。比如12496、14288、15472、14536、14264。

其中，最长链竞争包含28个数字:14316、19116、31704、47616、83328、177792、295488、629072、589786、294896、358336、418904、366556、318028、285778、152990、122410、999

三.教学建议

(1)注意厘清乘法口诀中的“因子”与本单元中的“因子”的关系和区别

在同一个乘法公式中，乘法符号两边的数字称为因子，是相对于“积”而言的。此时，因子和乘积可以是整数、小数和分数。这个单位中的因子是相对于“倍数”而言的，是可分的，所以因子和倍数都只能是整数。

(2)注意“多”与“多”的联系和区别

“倍”概念的外延比“倍数”概念的外延更广。比如我们用“倍”的时候，可以说12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。使用“倍数”时，我们只能说12是3的倍数，而不能说1.2是0.3的倍数，因为因子与倍数的关系只存在于除法的情况下。

(3)引导学生自主探索求一个数的因子和倍数的方法

一个数的因素是什么？倍数是多少？老师可以让学生先试着去找。学生第一次找的时候可能找不到所有的东西。有问题的时候，学生反而会想:怎么找？你从哪里开始？这样学生在活动体验中就能逐渐领悟到求一个数的因子和倍数的方法，逐渐领悟到每个因子和一个数的倍数的特点。

(4)注意渗透集合的思想

教师可以借助集合圆来表达一个数的因子或倍数，让学生更好地感受到一个数的因子数是有限的，一个数的倍数数是无限的；同时，也为用交集的形式表达两个数的公因子和公倍数奠定了基础。

四.推荐阅读

(1)小学数学知识树(刘开云，李彦谚，北京大学出版社，2008)

本书的第一部分“数字与运算”，第二章“精确划分数字”，介绍了与因子和倍数相关的知识。

(2)《对“因子与乘数”教学内容的再思考》(丁，小学数学，2008年第2期)

本文分析了这一部分的相关概念之间的密切关系以及学习这一部分对后续数学学习的意义，并深入思考了因子和倍数在中小学中的重要作用。

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