地球自转角速度（地球公转的角速度）
地球自转角速度(地球自转角速度)
来源:刘彦柱科学网博客，作者:刘彦柱。
01
福柯摆和福柯陀螺
1851年，法国物理学家福柯(j .)在巴黎万神殿的穹顶上悬挂了一根67m长的绳子，绳子下端系着一个28公斤重的钟摆(图1和图2)。这个著名的傅科摆是人类第一个证明地球自转的实验。虽然哥白尼(n .)的日心说早在16世纪就提出了，但人们仍然不能通过自己的感官直接认识地球的活动。
图1福柯(福柯，1819-1868)
图2福柯摆试验
1602年，伽利略对单摆定律有了深刻的理解。单摆的摆动是平面活动，摆动平面在惯性空内保持同一方位。如果地球旋转，摆动平面将相对于地球偏转。地球每天昼夜绕极轴旋转，旋转角速度e每小时逆时针旋转150°。巴黎的纬度为北纬48.52°，地球绕巴黎垂线的角速度为esin，约为每小时11.24°。将摆长l=67m，重力加速度g=9.8m/s代入单摆周期公式，t = 2 (l/g) 1/2 = 16.4s，每次摆动，摆动平面应相对于地球顺时针旋转3角分钟左右。实验验证了福柯的预言引起了巨大的轰动。
在完成福柯摆实验的第二年，福柯于1852年在巴黎科学院进行了另一项资源网络实验。他展示了一种新的仪器，由一根细线悬挂一个带有转子的环组成，转子的旋转轴可以自由改变方向(图3)。让转子的转轴沿子午线向北贴。当没有扭矩时，转轴应在惯性空之间保持同一方向。如果地球逆时针旋转，地球上的观测者应该可以看到旋转轴相对于地球的顺时针偏转，从而再次证明了地球的旋转(图4)。然而，实验没有达到预期的结果，两个主要原因导致了失败。一是转子转速太低；其次，悬丝的扭矩严重阻碍了转子的运动。虽然实验没有成功，但意义重大，因为这个不完美的仪器是历史上第一个具有科学意义的陀螺仪。
图3福柯陀螺仪
02
一种可指向北方的福柯陀螺仪
陀螺仪是由外环、内环(或包含转子的外壳)和转子组成的系统。以陀螺的质心O为原点建立(O-xyz)坐标系。x轴为外旋转轴，y轴为内旋转轴，z轴为转子极轴，是转子的旋转轴。外环的角度为0，内环绕外环的角度为0(图4)。I，j，k代表每个坐标轴的基向量。如果转子的极惯性矩为C，转子绕z轴快速旋转的角速度为0，那么动量矩L=C0k。在分析陀螺转子进动时，可以忽略内、外环缓慢转动的动量矩。O是建立与地球统一的地理坐标系(O-XEN)的原点，其中X轴沿地球垂直线向上，E轴沿纬度线向东，N轴沿子午线向北(图5)。沿垂直轴x设置地球上陀螺仪的外环轴X。让我们假设一个简化的情况，内环相对于外环是固定的，let =0。因为转子的旋转轴z轴只剩下一个自由度，所以称之为单自由度傅科陀螺仪。
图4由内环和外环支撑的陀螺仪
图5地理坐标系
旋转物体的转轴在力矩作用下改变方向的活动称为进动，刚体进动的转动惯量称为陀螺力矩。这是一个旋转坐标系，其中地球绕极轴Z0以角速度e旋转。设设施的纬度为X0，E0和N2，表示(O-XEN)坐标轴的基向量，设1=ecos，2=esin，则e=2X0+1N0。开始时，(O-xyz)和(O-XEN)重合，转子的极轴z指向北方。然后，框架围绕x轴逆时针旋转角度，使极轴偏离子午线。因为框架可以不受约束地绕X轴自由旋转，所以e沿X轴的分量2X0[div]不能传递给转子。只有沿N轴的分量1N0才能通过轴承的约束力作用在转子上进动，产生沿x轴的陀螺力矩Mc=L1N0。只保存一阶少量的，并替换导出N0=j+k。
这个力矩与框架的偏转方向相反，使框架和极轴回到x轴周围的子午线位置。在回归过程中，转子动量矩L沿y轴变化所需的外力矩由轴承的约束提供。上述分析表明，单自由度傅科陀螺仪具有指向北方的能力。
然而，这种单自由度陀螺仪很难用于船舶或其他移动载体。原因是地球自转太慢，陀螺扭矩太弱，克服不了轴承摩擦的阻力。另外，陀螺的架轴必须严格垂直，稍有倾斜就会造成严重误差。虽然无法在实践中使用，但这种简单的陀螺装置开创了利用地球自转发明指北仪的奋斗历程。
03
如何发明一个实用的陀螺罗盘？
我们的祖先很早就在海洋上移动，在浩瀚的海洋中航行需要精确的方位引导。利用地球磁场的指南针是中国四大发明之一。传入西方后，成为远洋船队必不可少的磁罗盘。15世纪郑和下西洋的大船队，16世纪伽马和哥伦布的船队，都离不开磁罗盘的导航，但磁罗盘只能用于木船。19世纪初，欧洲出现了铁船，磁罗盘因钢船体对磁力线的干扰而失效。因此，探索新的航海罗盘成为航海大国的当务之急。福柯陀螺仪的出现为发明新指南针提供了愿望。
单自由度陀螺没有赢，使内圈可以自由转动，改为二自由度陀螺。外环垂直固定在地球北半球的P点，内环度数为先令，转子极轴沿子午线指向北方。过了一会儿，地球绕着南北两极的轴旋转了一个小角度，使得点P沿着纬度从西向东转到点P。由于陀螺的轴是固定的，极轴为了保持惯性方向空不变，向东偏离子午线，有一个新的位置赤纬角(图6)。单自由度陀螺仪可以利用地球自转产生的陀螺力矩使极轴回到子午线位置，但由于恢复力矩太弱，实际上无法应用。因此，问题的关键是找到更强的动力，快速将极轴恢复到原来的位置。
仔细观察可以发现，在向东偏离子午线的同时，极轴略有抬升，出现偏转角，不再坚持。极轴偏离度平面这一现象非常重要，提醒了应用重力恢复原始位置的可能性。如果在安装转子的内环下方增加配重，内环和转子组件的重心将向下偏离支撑中心，形成绕y轴旋转的复摆。内环上升时，重力产生沿纬度向西的力矩，使极轴带动外环绕垂直轴向西运动，回到与子午线一致的原始位置。因此，这个想法逐渐变得清晰:用重力摆产生的力矩来代替地球自转弱引起的陀螺力矩，可以使陀螺转子进动，跟踪子午线。
图6地球的旋转引起转子极轴的偏转。
使绕x轴的重量力矩mgl与转子进动产生的陀螺力矩L(d/dt)相互平衡。导出
其中k =毫克升/升..此时，由于内环偏转角的变化引起的转子绕y轴的陀螺力矩L (D/DT )与地球自转E引起的陀螺力矩L1相互平衡，并导出。
以上两个方程肯定了指南针的进动规律。通过对这个线性方程组的分析，导出了特征=i(k1)1/2，表明罗盘指向北的平衡是稳定的。受扰活动是平衡态周围的周期活动，周期为T=2/(k1)1/2。因为1 1，指南针的周期极长，可以长达一个多小时。因为和的变化速度相差太大，所以极轴端点在活动过程中的轨迹是一个极扁的椭圆。如果没有阻尼因子，启动后转子极轴将沿扁椭圆缓慢进动。为了使陀螺罗盘实用化，极轴必须在启动后迅速停在子午线上。因此，有效的阻尼方法是必不可少的。可以采用两种阻尼方案:沿x轴增加与成比例的径向扭矩(图7a)，或沿y轴增加与成比例的径向扭矩(图7b)。
图7陀螺罗盘的阻尼
实现第一个阻尼计划的方法有很多。最简单的方法是将下摆配重与内环组件的连接点向东移动一个小角度。当极轴相对度平面以的角度倾斜时，围绕y轴的力矩My和围绕x轴的小力矩Mx将出现在点O上
图8配重与内圈的偏心连接
实现第二个方案的难点在于无法提前获得方位的信息，因为的测量基准是罗盘要建立的子午面。利用和之间的相位差为90°的特性，可以用与成正比但之间的相位差为90°的度数扭矩来代替该阻尼扭矩。液体摆有这种特殊的效果。它由两个形状相同的容器和粘性液体组成，它们通过细管相互连通。连接器载体倾斜时，液体从高端容器流向低端容器，产生重力矩，反映复摆效应。假设液位相对于容器轴y的倾斜角为，载体y相对于度轴y的倾斜角为-。连接管内液体的速度与两端压差成正比，即与-成正比，d/dt=-c(-)。将比例系数c的倒数写成T=1/c，再写成T(d/dt)+=。对于高粘性液体，时间常数T足够大。那么包含速度的第一项大约与成正比，表明在之间存在接近90°的相位差，该相位差与倾覆力矩和基底的摇摆活动成正比。
图9液体摆
04
实践中出现的新问题
在解决了陀螺罗盘的指北原理后，实践中提出的新的理论问题不断涌现。首先，在实际应用罗盘时，理论分析中船舶在南北方向的航行速度会改变地理坐标系的方向，使接近陀螺极轴的子午线偏离真实子午线。由此产生的子午线偏差称为速度误差(图10)。
其中，R为地球半径，vE和vN为船的东、北向速度。误差随着纬度的增加而增加，但在导航过程中可以修改。只有当纬度接近地球两极时，误差才会无限增大，不能用于高纬度地区。
图10速度误差的出现
此外，当船舶加速、减速或转弯时，重力摆上出现的惯性力会引起冲击误差。德国物理学家舒勒彻底解决了这个难题。1923年，他从理论上证明了如果单摆的摆长增加到等于地球半径R，无论载体的加速度有多大，单摆总能与垂直线的方向保持一致，避免加速度的干扰。将地球半径R = 6371km千米，重力加速度g = 9.81m米/秒代入周期公式T=2(R/g)1/2，周期为84.4分钟这种特殊的可以避免加速度干扰的周期称为舒勒周期。可以证明，将陀螺的周期设计为舒勒周期，可以避免冲击误差的出现。
最严重的问题来自波浪促使船体不断摇摆。绕艏艉线滚动的摆动可高达十几度。指南针的初步实践表明，摆动会导致很大的误差，因此我们应该首先从理论上讨论误差的原因，以改进指南针的结构。设船舶航行的方位为，使地理坐标系(O-XEN)绕垂直轴X 顺时针旋转[div]形成新的参考坐标系(O-XYZ)。N轴Z轴的新位置是沿着船体的艏艉线。船体以的角频率围绕Z轴围绕浮动中心O0滚动。假设陀螺仪支撑点O与O0的垂直距离为H，沿水平轴Y的加速度出现在点O a=aY0，a=hsint(图11)。
图11船舶绕Z轴摇摆
为了防止罗盘随船摇摆，设计师在内环和外环之间增加了一个绕z轴旋转的中环，将其与摇摆的船体隔离。使带内环的中环组件与转子的重心下移，形成复摆，使船体摆动时仍能保持垂直。假设罗盘处于幻想状态，陀螺坐标系(O-xyz)和地理坐标系(O-XEN)完全一致。如果组件的质量为m，沿摆动轴x1到陀螺支点O的运动质心O1的矢状径为L，相对于垂直轴的摆动角为(图12)。由于摆动产生的惯性力-ma相对于支点O产生力矩M=l(-ma)，其沿z轴的分量Mz使组件的摆角产生强迫振动。同时，沿x和y轴的分量Mx和My通过轴承传递给转子。从图13可以看出，由于摇摆过程中的相反方向，度数分量My被抵消，但是离心力分量Mx的方向总是相同的。由于船舶摇摆的频率远高于陀螺的固有频率，惯性矩Mx和My对陀螺的影响可以用各周期的平均值代替。My的平均值为零，而Mx的平均值使转子偏离轴线角度，与地球自转产生的陀螺力矩L1相平衡。偏离角s是船舶摇摆引起的制导误差；
这种摇摆误差不仅取决于罗盘的结构参数、安装位置和摇摆强度，还与纬度角和方位角有关。在= 0，90，180，270的特殊位置，摆动误差为零；当= 45，135，225，315时，摆幅误差具有最大值。纬度越高，摆动误差越严重，接近地球两极时摆动误差无限增大。
图12环组件受迫振动
图13摇摆引起的转动惯量
05
陀螺罗盘的技能实现
当陀螺罗盘的机械原理得到充分论证后，下一步就是用工程师的智慧和企业家的勇气将理论变为现实。在福柯陀螺仪的失败教训中，1865年特鲁夫(g .)应用电机驱动解决了进步陀螺仪速度的问题。1904年，FPPL (A .)在德国成功应用了钢丝悬挂的电动双转子陀螺，证明了地球的自转，实现了福柯未完成的愿望。因此，消除轴承摩擦、罗盘阻尼和摆动误差等问题成为工程师们迫切需要解决的技术关键。
在19世纪末开始的早期工作中，Truvi应用了由内外圈组成的万向支架来代替钢丝悬挂支架。1884年，开尔文勋爵提出了一个支持方案，将带有转子的组件悬浮在液体中。经过对各种技能计划的不懈探索，20世纪初取得了实质性的进展。1908年，德国的安希茨-KMPFE博士制作了一个悬挂在水银容器中的单转子陀螺罗盘(图14)。1909年，美国的斯佩里(E.A .)采用了类似福柯陀螺仪的钢丝悬挂支架，但增加了主系统的扭矩，以随时清理钢丝。从那时起，沿着不同技能路线发展的两种类型的陀螺罗盘已经形成。
图14 Amphotz单转子陀螺罗盘
1912年，安秀斯对指南针进行了重大改进。他把框架和转子放入空中心钢球中，钢球悬挂在水银容器中，重心低于漂浮中心。为了消除摆动误差，在钢球中，除了主旋翼H1沿z轴外，增加了两个侧对称放置的辅助旋翼H2和H3，并采用杠杆连接，保证它们与z轴有相同的倾角。辅助旋翼沿z轴的动量分量力矩与主旋翼的动量分量力矩叠加起导向作用。由于方向相反，y轴上的分量抵消为零(图15)。当沿y轴的惯性力对钢球质心产生力矩M时，将迫使副转子H2和H3沿z轴的同一方向进动，产生陀螺力矩和干涉力矩。
图15安舒茨三转子陀螺罗盘
休的三转子罗盘产品已经在航海上使用了15年，享有很高的荣誉。1927年，它再次修改，省略了陀螺仪的主转子H1，完全用倾角为45°的辅助转子H2和H3代替。并且所有的陀螺仪和附件都放入密封的铜球中漂浮在液体容器中(图16)。值得一提的是，物理学硕士爱因斯坦(a .)曾以专利鉴定专家的身份参与过Anschutzroth的修改设计(图17)。作为一项成熟的技能计划，改进后的安海斯双转子罗盘被前苏联仿制，形成了库尔斯陀螺罗盘。也传入中国，成为国内较早的指南针产品。
图16 Amphotz双转子陀螺罗盘
图17指南针试验船上的安秀斯(左)和爱因斯坦(右)
沿另一个方向开发的斯佩里罗盘采用带主控器的钢丝悬挂支架，在单转子上增加液体摆来阻尼和消除摆动误差。随着科学技术的提高，斯佩里罗盘已经发展成为现代电子罗盘(图18)。采用与液体摆性质相似的强阻尼摆作为基本敏感元件，将测得的内环偏转角数据通过主系统输入电力矩器，从而产生指向北过程所需的力矩。因此，纯粹根据力学定律发明的传统指南针完全被电子大师系统所取代。
图18电控陀螺罗盘
电子控制罗盘的出现，结束了陀螺罗盘百年的发展历史。陀螺罗盘的发明是力学和工程学结合的成功范例。回忆这段历史的意义，在于了解人类对于自然规律从认识到应用的奋斗过程，依靠力学家、工程师、企业家的不懈努力，最终让航海家的妄想成真。这对解决当前技能发展中的各种新问题具有重要的参考意义。
参考文献:
刘彦柱。陀螺力学(第二版)。北京:科学出版社，2009
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