半圆形面积公式（半圆的面积公式小学）

半圆面积公式(半圆面积公式小学)

周一定理5新月面积定理

整理|孔子说

新月是一个平面图形，其边缘有两个圆弧。公元前5世纪，古希腊的希波克拉底因其伟大的发现——发现新月地带而受到后人的称赞。评论家普罗克洛泽(公元410-485年)，从他的5世纪的角度，认为希波克拉底”...做了一个面积相等的月牙形正方形，并在几何学上有了许多其他的发现。如果当时有绘画天才，那一定是他。”威廉·邓纳姆在他著名的科普书《天才指导的课程:数学中的伟大定理》中讲述了12个伟大的定理，第一个定理是希波克拉底的新月面积定理。

今天我们就用“一周定理”一栏介绍新月面积定理，它的历史背景和意义。

如图1所示，以AB为半圆直径，O为AB中点，使OC垂直于AB，在C处交叉半圆，连接AC和BC，取AC中点D，再以D为圆心，AD为半圆AEC半径，形成月牙形AECF，如图1黄色部分所示。

图1

希波克拉底发现并证明了新月区定理。

【定理】新月形AECF可用等面积正方形表示。

这里需要说明的是“可以用面积相等的正方形来表示”，字面意思是“可以用面积相等的正方形来表示”。但是为什么用等面积正方形来表示呢？其实它有着深厚的历史背景和意义，体现了古希腊人独特的数学智慧。

对于古希腊人来说，求面积源于实际生产生活中测量的需要，如何求各种图形的面积——尤其是不规则图形的面积——是当时希腊数学的中心问题。他们的方法简单而伟大，就是用面积相等的正方形代替不规则图形，那么确定不规则图形面积的问题就变成了确定正方形面积的简单问题。

因此，对于公元前5世纪的希腊人来说，如果一个平面图形可以用面积相等的正方形来表示，那么这个平面图形的面积就可以确定了。所以，求面积也叫求平方。在求方的过程中，古希腊人也有一个不成文的规定，即只能用圆规和尺子(没有刻度)进行作图，这个规定一直保留到今天，甚至成为几何作图必须遵守的规则。

这种基于简单、基本的事物来处理复杂问题的方式在数学中被广泛应用，也是我们在数学学习中需要掌握的重要数学思想。

古希腊人首先解决了矩形正方形的寻找问题，然后是三角形正方形的寻找问题，最后是多边形正方形的寻找问题。

[步骤1]找到矩形的面积。

图2

对于任意矩形ABCD，将AD延伸到E使DE=CD，以AE的中点F为中心，做一个以AF=EF为半径的半圆，将CD的相交半圆延伸到H，再做一个以DH为边的正方形DHKL，那么正方形DHKL等于原矩形ABCD的面积。

为了证明正方形DHKL面积等于矩形ABCD面积，我们假设HF=a，DF=b，DH = c .然后在直角三角形DFH中，根据勾股定理:A = B+C，或者A-B = C .显然AF=EF=HF=a，AD=AF+DF=a+b，CD=DE=EF-DF=a-b，所以

s(矩形ABCD)

=AD×CD

=(a+b)(a-b)

=a -b

= c = s(正方形DHKL)

这样，我们证明了原矩形的面积等于直尺画出的正方形的面积，从而完成了矩形的求平方。

求出矩形的面积后，我们就可以求出三角形的面积。

[步骤2]找到三角形区域。

图3

对于任意三角形ABC，在BC的边上做高AD，取AD的中点E，然后我们做一个矩形FGHI，让FG=BC，GH=DE。

此时，s(矩形FGHI)

=FG×GH

=BC×DE

= 1/2BC×公元

=S(△ABC)

至此，三角平方问题也已完成。

[步骤3]找到多边形的面积。

图4

对于任何多边形，我们可以通过连接对角线将多边形分成几个三角形。以五边形为例，可以分为三个三角形，即I、II、III，整个五边形的面积等于S (I)+S (II)+S (III)。

在第二步中，我们已经知道三角形可以用等面积的正方形来表示。因此，我们可以把面积相等的正方形做成I、II、III，把它们的边长分别设为A、B、C，如图5所示。

图5

然后，把A和B作为直角边，做一个直角三角形，把它的斜边长度设为X，那么X = A+B，然后把X和C作为直角边，做一个直角三角形，让它的斜边为Y，那么Y = X+D，最后我们可以做一个以Y为边长的正方形(如图6阴影部分所示)。

图6

通过综合我们的结论，我们可以得到

y =x +d =a +b +d

= S(ⅰ)+S(ⅱ)+S(ⅲ)

因此，原始多边形的面积等于以y为边长的正方形的面积。

显然，上面的绘制和推导过程适用于任何多边形。简而言之，多边形可以用面积相等的正方形来表示。即使是像图7这样的平面图形，也可以用一个面积相等的正方形来表示。想想为什么？

图7

使用上述方法，希波克拉底时代的希腊人可以将无序的不规则多边形变成等面积的正方形。然而，不幸的是，这些数字都是直边数字。起初，人们认为用等面积正方形来表达曲线边缘图形的问题似乎是不可能的，因为显然没有办法用圆规和尺子来拉直曲线。其中，特别是对于圆来说，如果不能用面积相等的正方形来表示，总是不那么完美的。

众所周知，几何中有三个著名的问题，它们是:

1.角度三等分，把给定的角度分成三个等角问题；

2.将立方体加倍，求体积是已知立方体两倍的立方体的边长；

3.把圆变成正方形，找到与给定圆面积相同的正方形问题。

其中，圆转方的问题就源于此。

公元前5世纪，当希波克拉底成功地将一条名为“新月”的曲线绘制成正方形时，全世界都目瞪口呆。

图8

由于希波克拉底在计算新月面积上的成功，希腊数学家对“化圆为方”的问题非常乐观，仿佛胜利的曙光就在眼前。据说希波克拉底本人声称他可以计算圆的面积。然而，戏剧性的是，在2000多年后的1882年，德国数学家费迪南德·林德曼(1852-1939)成功而清晰地证明了将圆变成正方形是不可能的。这真是一个漫长、曲折、戏剧性的结果。

林德曼对π是超越数的证明，引出了圆不可能变成正方形的证明，这超出了本文的讨论范围。

最后，我们附上希波克拉底新月面积定理的证明如下。他的证明是如此简单和聪明。

【定理】新月形AECF可用等面积正方形表示。

图9

【证明】因为∠ACB是半圆的圆周角，∠ACB是直角。根据边和角的同余定理，三角形AOC和BOC是全等的，所以AC=BC。然后，我们应用勾股定理(勾股定理)来得到

因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，我们可以应用上面的第三个结论，即得到

也就是说，半圆形AEC的面积是半圆形ACB的一半。

现在让我们看看四分之一圆AFCO。显然，这个四分之一圆也是半圆ACB面积的一半。由此，我们可以直接得出结论

面积(半圆AEC)=面积(四分之一圆AFCO)

最后，我们只需要从这两个数字中减去它们共同的AFCD，即

区域(半圆形AEC)-区域(AFCD部分)

=面积(四分之一圈AFCO)-面积(AFCD部分)

从图中我们可以很快看出其余的是

面积(新月形AECF)=面积(△ACO)

我们知道，我们可以做一个面积等于三角形面积的正方形，这样就等于AECF新月的面积。这就是把新月变成正方形的问题。郑璧

上图，希波克拉底只发现了一个特殊的新月形区域。有趣的是，并不是所有的月牙形都能变成等面积的正方形。1771年，伟大的数学家欧拉(1707-1783)发现了另外两种可以用等面积正方形表示的新月形。直到20世纪，N.G. Chebatoru和A.W. Dorodno证明了只有五种月牙形可以用等面积正方形来表示！所有其他类型的新月形状，像圆形，不能变成等面积的正方形。

最后需要注意的是，根据希波克拉底特殊新月定理的证明，我们可以很容易地证明以下更一般的新月定理。

【月牙定理】如果以直角三角形的两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，那么三个半圆围成的两个月牙形面积之和等于直角三角形的面积。

图10

即两个黄色月牙形面积之和等于灰色直角三角形的面积。作为练习，请在自己完成证明过程之前阅读。

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