用白铁皮做罐头盒（一张铁皮可以做25个罐头身）

用白铁皮做罐头盒（一张铁皮可以做25个罐头身）制作锡罐(一罐可以制作25罐)

摘要

用线性方程组解决实际问题是其他方程(组)解决实际问题的基础。用线性方程解决实际问题时，要根据具体问题中的数量关系列出方程，建立方程模型，然后通过解方程来解决实际问题。在寻找复杂问题的数量关系时，要注意选择合适的方法，使复杂问题尽可能直观或有条理，必须检查方程的解，看其是否合理。

完整的知识解决方案

一、用方程解决实际问题的步骤

用方程解决应用问题，就是把生活中的实际问题抽象成数学问题，用方程解决实际问题。用方程解决应用问题的步骤可以简单地表达如下:

(1)复习:找出问题意义与问题之间的数量关系。

(2)假设:用字母表示适当的未知数。

(3)发现:找到一个能表达实际问题全部含义的平等关系是解决问题的关键。

(4)列:列出上述等式关系中涉及的量的必要代数表达式，从而列出方程。

(5)求解:求解列出的方程，得到未知值。

(6)回答:检查解答是否符合题意，写出答案，注意不要忘了单位。

指出

用方程解应用题的注意事项如下。

(1)寻找相等关系的注意事项:①根据实际应用问题，准确判断所要解决的问题属于上述四种常见类型还是其他类型；(2)找出等价关系，用简洁的文字表达清楚；③实际应用问题中的等式关系可以用未知数的代数表达式表示。

(2)设置未知数的注意事项:①设置未知数一般是你问的，直接设置就可以了；②如果很难直接设置未知，就应该间接设置未知；③设置未知数时，未知数的单位必须写清楚。

特别是在设置未知数时，如果未知数设置得当，列出的方程会更简单，更容易求解。相反，方程很难列出，甚至无法列出。有时候方程虽然可以列出来，但是求解起来很麻烦。

其次，列举几种常见的用一元线性方程组解决应用问题的类型。

(1)行程问题:基本定量关系为距离=速度×时间；下游(风)速度=物体速度+水(风)速度，逆流(风)速度=物体速度-水(风)速度；在相遇问题中，双方所走的距离之和=总距离；在追击题中，双方的距离差=开始时的距离等。

(2)等面积变形问题:等周长、等面积、等体积变化前后，对应的周长、等面积、等体积保持不变。

(3)工程问题:基本数量关系为工作量=工作效率×工作时间；一个常见的数量关系是，一方的工作量+另一方的工作量=合作的工作量。

(4)存贷款问题。

①利息=本金×利率×期数。

②本息之和(本息之和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)。

③赚取的利息=利息-利息税。

④利息税=利息×利率税率。

⑤年利率=月利率× 12。

⑥月利率=年利率× 1/12。

(5)商品营销的通用公式如下

①利润和利润率公式:商品利润=商品售价-商品进价(即商品成本)，商品利润率=商品利润/商品进价。

(2)折扣率:n的折扣表示以原售价的n/10出售，其中n可以是小数(如7。5%的折扣)；

③变形公式:利润=总收入-总成本=单价×销量-总成本；价格=进价+利润=(1+利润率)×进价。

(6)比赛积分。

积分原则:不同的比赛有不同的积分。

(1)比如篮球、排球等比赛，结果只有输赢。通常情况下，赢一场得2分，输一场得1分。因此，总分=胜局数×2+负局数×1；

(2)在足球比赛中，结果是赢、平或输。通常赢一局得3分，抽一局得1分，输一局得0分。然后是:总积分=胜×3+平×1。

(7)程序问题。

选择设计方案的一般步骤如下

(1)用一元线性方程求解应用问题的方法解决两个方案值相等的情况；

(2)用特殊值启发式方法选择方案，取小于(或大于)一元线性方程解的值，比较两种方案的优缺点后得出结论。

拨号方法

1类型匹配问题

例1对于锡罐，每罐可制成25个盒体或40个盒底。一个箱体和两个箱底搭配成一套盒子。有36个锡罐。有多少盘子可以让托盘本体和盒底刚好匹配？

【解析】根据题意，本题中的相等关系为箱体数×2=箱底数；制作箱体的铁皮片数+制作箱底的铁皮片数=36，方程可以求解。

【解决方案】如果用X片做箱体，(36-x)片做箱底。

根据问题的意思，2×25x=40×(36-x)、

解的X = 16。

36-16=20(张)。

答:用16张做盒体，20张做盒底，可以让盒体和盒底刚好吻合。

【方法总结】解题的关键是理解题目的含义，根据题目给出的条件找出合适的等价关系，列出方程再求解。注意这个问题隐含的一个等价关系:“一个箱体和两个盆底配成一套箱体”。

第二类工程问题

例2有一批零件加工任务，A单独做40个小时，B单独做30个小时，A几个小时后有另一个任务，剩下的任务B单独做，B比A多做2个小时，问A几个小时？

【解析】让A做x小时，根据题意得到等价关系:A的工作量x小时+B的工作量(x+2)小时=1，然后根据等价关系列出等式。

【答案】设a为x小时，根据问题意思得到。

x/40+(x+2)/30=1

解这个方程的X=16

答:答:做了16个小时。

【方法总结】本题主要考查一元线性方程的应用。关键是正确理解问题的含义，找出问题中的等价关系，列出方程。

例3某施工队承包了一段1755m长的过江隧道的施工任务，A、B两组分别从东西两端同时掘进。据了解，A组平均每天比B组多挖掘0.6m。经过5天的施工，两组共开挖45m。

(1)甲乙双方每天应挖多少米？

(2)为加快进度，通过改进施工工艺，在剩余工程中，A组平均比原来多挖0.2m，B组平均比原来多挖0.3m。按照这个施工进度，我们能比以前少多少天完成任务？

【解析】问题(1)通过列出一元线性方程来解决。让乙组每天平均xm，然后是甲组

A组平均每天挖(x+0.6)m，寻找“施工5天后，两组共挖45m”的相等关系，列出方程式。

问题(2)借助于问题(1)中的结果，通过进一步的计算可以得到所需的结果。

【解决方法】(1)让B组平均每天挖掘xm，然后A组平均每天挖掘(x+0.6)m，根据问题的意思，得到

5x+5 (x+0.6)=45，

X=4.2，那么x+0.6 = 4.8。

A:A组平均掘进时间为每天4.8 m，B组平均掘进时间为每天4.2 m。

(2)施工工艺改进后，A组平均每天开挖4.8+0.2 = 5(m)；B组平均每天驱动4.2+0.3=4.5 (m)。

施工工艺改进后，剩余工程时间为(1755-45)→(5+4.5)= 180(天)

按照原速度，剩余工程时间为(1755-45)在场(4.8+4.2) = 190(天)。

短天数为190-180=10(天)

答:可以比以前少10天完成任务。

【方法总结】在解决一道应用题时，当题中有几个不同的单元时，往往会因为粗心大意，忽略了统一的单元而出现错误。所以方程中的所有单位都要统一，否则列出的方程两边不相等。

类型3折扣销售问题

例4一件大衣的进价是200元，打八折卖的时候，利润率是10%。这件外套的标价是多少？(注:利润率:(售价-进价)/进价×100%)

【分析】如果这件外套的价格是X元，可以说明价格是0.8x元。根据利润价格-采购价格=采购价格×利润率，建立一个方程，求出其解。

【答案】根据问题的意思，让这件外套的价格为X元。

0.8x-200=200×10%。

0.8x=20+200

0.8x=220

x=275

这件外套的价格标签是275元。

【方法总结】本题考查销售问题在现实生活中的应用，列举了一元线性方程在解决实际问题中的应用，按照利润率=(售价-进价)/进价×100%建立方程，是解决本题的关键。

第四类游戏积分问题

足球比赛的评分规则是:赢一局得3分，平一局得1分，输一局得0分。一个足球队在某个赛季需要打14场比赛。现在已经打了8场，输了一场，得了17分。

请问:(1)这个队前八场赢了几场？

(2)这支球队打完14场比赛能得多少分？

(3)通过比赛情况分析，这支球队打了14场比赛，得分不低于29分，能够达到预期目标。请分析一下，在接下来的六场比赛中，这支球队至少要赢几场比赛才能达到预期目标？

【解析】用方程计算球类积分的方法:找出问题的意义，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的对等关系。这道题的等价关系是总分=胜场数×3+平场数×1。

【答案】(1)足球比赛评分规则:总分=胜数×3+场次×1

如果这支球队赢了x场比赛，它就打成平局(8-1-x)。根据问题的意思，得到

3x+ (8-1-x)=17，解为x=5

a:前八场比赛，这个队赢了五场。

(2)因为已经打了八场，还剩下六场。如果你赢了所有的比赛，你将得到18分。所以打了14局之后，最高分是17+ (14-8)×3=35(分)。

答:最高分是35分。

(3)从题意来看，在剩下的6场比赛中，只要得分不低于12分。

因此，如果你赢了不少于4场比赛，你肯定可以达到预期目标，或者赢了3场比赛，平局3场，就像你可以达到预期目标一样。

a:这个队在接下来的比赛中至少会赢三场。

【所有方法总结】在解决竞赛求积问题时，要根据竞赛评分方法和竞赛序列方程，明确分析和解决竞赛规则。

第五类方案决策问题

例6在某个地方有一种绿色蔬菜。如果直接在市场上销售，每吨利润1000元。粗加工后每吨利润4000元，精加工后每吨利润7000元。当地一家公司有140吨这种蔬菜。其加工厂的生产能力如下:如果粗加工蔬菜，每天可加工16吨；如果整理蔬菜，每天可以加工6吨，但受季节等条件限制，这些蔬菜全部出售或加工需要15天。为此，公司制定了以下三个方案。

方案一:粗加工所有蔬菜。

方案二:尽量把蔬菜加工完，没有加工的蔬菜直接在市场上卖。

方案三:把一些蔬菜精加工，剩下的蔬菜粗加工只需15天。

如果你是公司经理，你会选择哪个计划？说明原因。

【分析】要确定哪种方案利润最大，首先要找出每种方案的好处，然后进行比较。

【答案】方案一:140吨蔬菜全部粗加工，每吨利润4000元。

4000×140=56万元

方案二:尽量把蔬菜加工完，加工前直接在市场上销售。

15× 6× 7 000+(140-15× 6 )× 1000 = 68万(元)

方案三:如果有X吨的精整，那么

x/6+(140-x)/16=15

得到x=60。

700× 60+4000× (140-60) = 74万元。

所以选择第三种选择。

答:应选择选项3。

【方法总结】在计算方案三的销售金额时，如果按“问什么设置什么”就不容易找到与已知量的联系，说明用方程求解应用问题时，适当设置未知数是非常重要的。

中考环节

1一元线性方程在考点的实际应用

例1一个品牌的自行车1月份卖了100辆车，每辆车都卖同样的价格。2月销量比1月增长10%，每辆车售价比1月低80元。如果2月和1月的销售总额相同，则1月的销售价格为()

A.880元乙800元丙720元丁1080元

【分析】如果1月份每辆车的售价为X元，那么2月份每辆车的售价为(x-80)元。根据“2月份销量比1月份高10%，每辆车售价比1月份低80元”。2月和1月的总销售额相同”列出了等式井解，

【答案】如果1月份每辆车的价格是X元，那么2月份每辆车的价格就是(x-80)元，这要看问题的意思。

100倍= (x-80)×100×(1+10%)

得到x=880。

所以1月份每辆车的价格是880元。

所以选择a。

【点评】本题考查一元线性方程的应用。根据问题的意思得到“2月份每辆车的价格”和“2月份的总销量”是解决问题的突破口。

例2小明想从网上商店买计算器。经查询，某品牌A型计算器单价比B型计算器多10元。五个A型计算器和七个B型计算器价格一样。A型计算器和B型计算器的单价分别是多少？

【分析】如果A型计算器单价为X元，那么B型计算器单价为(x-10)元。根据“五款A型计算器价格与七款B型计算器价格相同”，列出方程并求解。

【解答】如果A款计算器单价为X元，那么B款计算器单价为(x-10)元。

根据问题的意思:5x = 7x (x-10)、

得到x=35。

所以35-10=25(元)

A:A型计算器单价35元，B型计算器单价25元。

【点评】从实际问题中抽象出一元线性方程。解决问题的关键是理解问题的意义。根据问题给出的条件，找出合适的等价关系，列出方程，然后求解。

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