椭圆形面积计算公式(椭圆周长简单计算公式)
椭圆面积计算公式(椭圆周长简易计算公式)
椭圆的面积是在《关于圆锥和球面》一书中计算出来的(命题4)。
当我们垂直缩小一个圆时,我们得到一个椭圆。椭圆有一个长半轴和一个短半轴。
椭圆面积公式是圆面积的一个漂亮的扩展。长半轴A和短半轴B的椭圆面积为:
首先,我们用直观的方法推导出这个公式。但是阿基米德的“方法”和严格的定理证明有明显的区别。
之后,我们将解释阿基米德是如何证明这个结果的。
围绕椭圆的半径为a的圆称为它的辅助圆。如果我们缩小圆(垂直),我们得到一个椭圆。给定椭圆上的点m,它满足以下关系:
阿基米德考虑了一些由椭圆和辅助圆内接的多边形。这些多边形的边数等于4的倍数,水平直径的两端用作顶点。
内接多边形P’是正多边形,P是内接在椭圆E上的多边形,它的顶点是P’的顶点到E的横轴的垂线与椭圆E的交点,我们有以下关系
那么两个多边形P和P’之间的面积关系是:
但是这些多边形可以有任意数量的边,它们可以无限接近圆和椭圆。
我们得到椭圆面积的公式:
如果我们的直觉是正确的,那么这就是椭圆面积的公式。使用mathlet缩放,我们可以看到非常好的近似,但是多边形永远不会完全填充整个椭圆或圆。
这是一个好方法,但是阿基米德需要一个逻辑证明。
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