三余弦定理数学定理

设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(∠BAC和∠OAB只能是锐角）通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α内的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角。

中文名

三余弦定理

别称

折叠角公式、最小角定理、爪子定理

表达式

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB

应用学科

数学

适用领域范围

立体几何

定理概述

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠

BAC×cos∠OAB

通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．

定理证明

如上图，已知OA是面α的一条斜线，OB⊥α。 在α内过B作BC⊥AC，垂足为C，连接OC。 OA和α所成角∠OAB=θ1，AC和AB所成角∠BAC=θ2，OA和AC所成角∠OAC=θ。 求证cosθ=cosθ1*cosθ2

证明：

∵OB⊥α

∴BC是OC在α上的射影

∵BC⊥AC

∴OC⊥AC（三垂线定理）

由三角函数的定义可知

cosθ1=AB/OA，cosθ2=AC/AB，cosθ=AC/OA

∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cosθ

或利用三面角余弦定理来证明。

在三面角A-OBC中，设二面角O-AB-C为∠AB，易证∠AB=90°

由三面角余弦定理得

cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB

即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=cosθ1*cosθ2

定理说明

虽然在证明该定理的过程中，平面内的直线AC经过斜线AO和α的交点A（斜足），但实际上在α内任何一条与AC平行的直线l，都可以经过平移使得l和AC重合。 而一旦l不经过点A，则l和OA互为异面直线（平面的一条斜线和平面内不经过斜足的直线互为异面直线），根据异面直线所成角的定义，l和OA所成角即为∠OAC。 也就是说，利用该定理可以很方便地求出异面直线所成角。

定理应用

如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！

例1如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)

三余弦定理应用例题1

例2已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)

三余弦定理应用例题2三余弦定理应用例题2解答

例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角A-BD-C(如图6)．(1)求异面直线AC与BD所成的角；(2)求二面角A-CD-B的大小．

三余弦定理应用例题3三余弦定理应用例题3解答参考资料

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