这两个数字是什么？(这两个数字是什么)
解题思路：
孙庞猜数的手算推理解法:
1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。
因为如果和54＜S＜54+99，那么S可以写为S=53+a，a＜=99。 如果鬼谷子选的两个数字恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53× a，于是孙知道，这原
来两个数中至少有一个含有53这个因子，因为53是个素数。 可是小于100，又有
53这个因子的，只能是 53本身，所以孙就可以只凭这个积53×a推断出这两个
数术53和a。 所以如果庞知道的 S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这
种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
如果53+99＜S＜=97+99，那么S可以写为S=97+a，同以上推理，也不可能。
如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只
能是98×99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。
2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示
为两个素数的和。
否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M
后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。 于是庞 还是不敢说“但是我
肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以
下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。
另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。
还有S=51也要排除掉，因为51=17+2×17。 如果鬼谷子选的是(17,2×17)，
那么孙知道的将是M=2×17×17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2×
17)。 （为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）
3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不
知道这两个数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是
合数（必是一偶一奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2
，我们上面的步骤已经保证奇的那个是合数），也就是S只能拆成a) S=2+a×b
或 b) S=a+2^n×b这两个样子，其中a和b都是奇数，n=1。 那么（下面我说
的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些数都小于
100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
a)或者孙的M=2×a×b，孙就会在(2×a,b)和(2,a×b)至少两组数里拿不定
主意（a和b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
b)或者M=2^n×a×b，
如果n1，那么孙就会在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少两组数里拿
不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2×a,b)和(2b,a)至少两组数里拿
不定主意；
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2×a=3a，所以S一定是3的倍数，我
们只要
讨论S=27就可以了。 27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9×18，他就
会在
(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的
论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么
烦） 现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35,br/37, 41, 47, 53} 中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我
肯定你也不知道这两个数是什么”这句话孙膑可以和我们得到同样的结论
，他还比我们多知道那个M。
4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，
然后组合成关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且 仅有一个猜想的和在
C中。 否则的话，他还是会在多个猜想之间拿不定主意。
庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。
5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后
，也得到了关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在 所有这些拆法中，只
有一种满足4)里的条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那
两个数来。
于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n＞1
，p为素数。 因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是 (2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这
两种情况，孙膑都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2来断定出正确的结果，因为
由M得到的各种两数组合，只有 (2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在
C中，于是孙膑就可以宣布自己知道了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)
还是(2^n2, p2)这 两种情况犯愁。
因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，
37=8+29=32+5，47=4+43=16+31。 于是S的可能值只能在17 29 41 53中。 让我们
继续缩小这个表。
29不可能，因为29=2+27=4+25。 无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确
判断出来：
a)如果是(2,27)，M=2×27=2×3×3×3，那么孙可以猜的组合是(2,27)
(3,18)(6,9)，
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4×25=2×2×5×5，那么孙可以猜的组合是(2,50)
(4,25)(5,20) (10,10)。 只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2×27还是4×25苦恼。
41不可能，因为41=4+37=10+31。 后面推理略。
53不可能，因为53=6+47=16+37。 后面推理略。
研究一下17。 这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2×15=2×3×5=6×5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这
个M，否则4)的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两 个数字了”的话说不
出来。
(3,14)：那么M=3×14=2×3×7=2×21，而2+21=23也在C中。 后面推理略。
(4,13)：那么M=4×13=2×2×13。 那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，
只有(4,13)的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5×12=2×2×3×5=3×20，而3+20=23也在C中。 后面推理
略。
(6,11)：那么M=6×11=2×3×11=2×33，而2+33=35也在C中。 后面推理略
。
(7,10)：那么M=7×10=2×5×7=2×35，而2+35=37也在C中。 后面推理略。
(8,9)：那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24，而3+24=27也在C中。 后面推理
略。
于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既
然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现 在也知道这两个数字是什么
了”。 听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。
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