2011安徽数学高考试题，2011安徽数学高考试卷

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数a为

(A)2 (B) -2 (C) (D)

（2）双曲线 的实轴长是

(A)2 (B) (C) 4 (D)

（3）设 是定义在R上的奇函数，当 时， ,则

(A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3

（4）设变量x,y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为

(A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1

（5）在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为

(A) 2 (B) (C) (D)

（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

(A)48 (B) (C) (D)80

（7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是

(A) 所有不能被2整除的整数都是偶数

(B) 所有不能被2整除的整数都不是偶数

(C) 存在一个不能被2整除的整数是偶数

(D) 存在一个能被2整除的整数不是偶数

（8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足 且 的集合S的个数是

(A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8

（9）已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，且 ，则 的单调递增区间是

(A) (B)

(C) (D)

（10）函数 在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n的值可能是

(A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 把答案填在答题卡的相应位置。

（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .

（12）设 ，则 .

（13）已知向量a,b满足(a+2b)•(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为 .

（14）已知⊿ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC的面积为 .

（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点。 下列命题中正确的是 .（写出所有正确的编号）。

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题：本大题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答写在答题卡的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

设 ，其中a为正实数.

（Ⅰ）当 时，求 的极值点；

（Ⅱ）若 为R上的单调函数，求a的取值范围

（17）（本小题满分12分）

如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，⊿OAB, ⊿OAC, ⊿ODE, ⊿ODF都是正三角形.

（Ⅰ）证明直线BC∥EF;

（Ⅱ）求棱锥F-OBED的体积.

（18）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作 ，再令 ，n≥1.

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和 .

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）设x≥1,y≥1，证明 ；

（Ⅱ）设1a≤b≤c，证明 .

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟。 如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 ，假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。

（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是 的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；

（Ⅲ）假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小。

（21）（本小题满分13分）

设 ，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线 上运动，点Q满足 ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足 ，求点P的轨迹方程。

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.

（1）A （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）C （10）B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分25分.

（11）15 （12）0 （13） （14） （15）①③⑤

三、解答题：本大题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（16）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系。 求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力。

解：对 求导得 ①

（Ⅰ）当 时，若 ，则 ，解得

结合①，可知

x

+ 0 _ 0 +

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以， 是极小值点， 是极大值点。

（Ⅱ）若 为R上的单调函数，则 在R上不变号，结合①与条件a0，知

在R上恒成立，因此 ，由此并结合a0，知 .

（17）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。

（Ⅰ）（综合法）

证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥ ,OB= ,OG=OD=2

同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合。

在△GED和△GFD中，由OB∥ ,OB= 和OC∥ , OC= ,可知B,C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

（向量法）

过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点， 为x轴正向， 为y轴正向， 为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。

由条件知E( ，0,0)，F（0,0， ），B（ ，- ，0），C（0，- ， ）。

则有， ， 。

所以 ，即得BC∥EF.

（Ⅱ）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知SEOB= ,而△OED是边长为2的正三角形，故SOED= ,所以SOBED=SEOB+SOED= 。

过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ= ，所以VF-OBED= FQ•SOBED= 。

（18）本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设 构成等比数列，其中 ，则

①

②

①×②并利用 ，得

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知

另一方面，利用

得

所以

（19）本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力。

证明：（Ⅰ）由于x≥1,y≥1，所以

将上式中的右式减左式，得

既然x≥1,y≥1，所以 ，从而所要证明的不等式成立。

（Ⅱ）设 ，由对数的换底公式得

于是，所要证明的不等式即为

其中

故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立。

（20）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。

解：（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时，随机变量X的分布列为

X 1 2 3

P

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

EX= + +

=

（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

EX=

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。

下面证明：对于 的任意排列 ，都有

（＊）

事实上，

即（＊）成立。

（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX改写为 ，若交换前两人的派出顺序，则变为 。 由此可见，当 时，交换前两人的派出顺序可减少均值。

（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX改写为 ，若交换后两人的派出顺序，则变为 。 由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 时，交换后两人的派出顺序也可减少均值。

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当 = 时，EX达到最小。 即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。

（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

解：由 知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 ,即

①

再设 ，由 ，即 ，解得

②

将①式代入②式，消去 ，得

③

又点B在抛物线 上，所以 ，再将③式代入 ，得

整理得

因 ，两边同除以 ，得

故所求点P的轨迹方程为 。

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