因数的含义（什么是因数的概念）

因素的含义(什么是因素的概念)

一、概念描述

现代数学:如果整数A能被自然数B等分，那么A叫B的倍数，B叫A的除数(也叫因子)；如果整数A不能被自然数B整除，说明A不是B的倍数，或者B不是A的除数。

小学数学:在小学数学教材中，因子和倍数的概念一般是这样描述的。2004年北京版第10卷第46页指出，如果数A能被数B平均除，则A称为B的倍数，B称为A的除数(即因子)。例如，15可以平均除以3，3是3的倍数，3是15的因子。人民教育出版社2013年出版的五年级教材第二册第12页指出，2x6=12，2和6是12因子，12是2和6的倍数。

二.概念解释

(1)因子和倍数的表达

因子和倍数代表一个数和另一个数之间的关系。它们是两个相互依存的概念，不能独立存在。所以在叙述时，要说明哪个数是哪个数的因子或倍数，而不是说某个数是因子或倍数。比如15呈现3 = 5，应该说15是3的倍数，3是15的因子；不能说15是倍数，3是因子。

(2)求一个数的因子的方法

比如18的因素是什么？乘法思考:哪两个整数乘以18？18=1×18, 18=2×9 ...除法思考:18÷1=18，18÷2=9。......

一个数的因子可以从1开始找，也就是从最小的因子开始找，直到找到自己(比如18的因子是1，2，3，6，9，18)，或者是一对一(比如18的因子是1和18，2和9，3和6)。

(3)求一个数的倍数的方法

比如你能找到多少2的倍数？从2的1倍开始，然后是2倍和2的3倍...你也可以这样想:2x1=2，2x2=4，2x3 = 6......

学生会发现一直找不到，说明有无数2的倍数。

(4)因子和倍数的特征

一个数的最小因子是1，最大因子是它本身，它的因子个数是有限的。

一个数的最小倍数就是它自己。没有最大倍数，倍数的数量是无限的。

(5)有趣的数字

①完全数，又称完全数。

——自然数的所有真因子之和等于其本身。这样的自然数叫做完全数。

真正的因素是除了自身以外的所有积极因素。例如，6的因子是:1、2、3和6。除了本身6，其余三个因子1、2、3都是6的真因子。把这三个真因子加起来——1+2+3 = 6，它们的和正好等于本身，所以6是一个完全数。

比如28，把它所有的真因子加起来——1+2+4+7+14 = 28，它们的和正好等于它本身，所以28也是一个完全数。

前十个完全数是:

6(1位数字)

28(2位数)

46 (3位数)

828 (4位数字)

3550336 (8位数字)

889869056 (10位数)

37438691328 (12位数字)

205843008139952128 (19位数字)

2584599156988364.4666992795

另一方面，1566194260823663 . 8888888886

古希腊数学家毕达哥拉斯是第一个研究完全数的人。自诞生以来，完全数就像金子一样吸引着许多数学家和业余爱好者去寻找它。目前已经发现了47个完全数，都是尾数为6或8的偶数，所以人们都在怀疑奇数完全数是否存在。

完全数有许多有趣的性质:

A.每个完全数都可以写成连续自然数(三角数)的和。

示例:6=1+2+3

28= 1+2+3+4+5+6+7

496= 1+2+3+...+30+31

B.每个完全数的所有因子的倒数之和等于2，所以每个完全数也可以称为调和数。

例如:1/1+1/2+1/3+1/6 =2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2

C.除了6以外的每个完全数的数字加在一起，直到它变成一个数字，这个数字必须是1。这也可以看作:除了6的完全数，除以9，剩下1。

例如:28-2+8 = 10，1+0 = 1

496 - 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

②数量不足和丰富。

对于数字“4”，它的真因子是1和2，它们的和是3，比4本身小。像这样的自然数叫做亏数。

对于数字“12”，它的真因子是L、2、3、4和6。他们的总和是16，比12本身还大。像这样的自然数叫做大数。

因此，一个完全数是一个既没有盈余也没有负债的自然数。

③相亲号，也叫姻亲号、友情号。

在两个正整数中，彼此的所有真因子之和等于另一个。

例如，220和284，220的所有真因子之和是:1+2+4+5+10+1 1+20+22+44+55+110 = 284。24的所有真因子之和为1+2+4+71+142= 220。

所以220和284是一对亲和数。它是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的。它是人类已知的第一对亲和数，也是最小的一对。现在，人们已经找到了1200多对夫妇。

人们发现的前十对亲和数分别是:220和284，1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368，10744和10856，12285和14595，17296和18416，63020和76084。

人们还研究了友好的数链:这是一系列自然数，其中每个数的真因子之和等于下一个数，最后一个数的真因子之和等于第一个数。比如12496、14288、15472、14536、14264。

其中，最长链竞争包含28个数字:14316、19116、31704、47616、83328、17792、295488、629072、589786、294896、358336、418904、366556。318028, 285778, 152990,122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716。

三.教学建议

(1)注意找出乘法公式中的“因子”与本单元中“因子”的联系和区别。

在同一个乘法公式中，乘法符号两边的数字称为因子，是相对于乘积的。此时，的因子和乘积可以是整数、小数和分数。这个单位的因子是相对于“倍数”的。因子和倍数可以整除，所以只能是整数。

(2)注意“多”与“多”的联系和区别

“倍”概念的外延比“倍”更广，例如，12÷3=4，1.2 ÷ 0.3 = 4。当我们用“倍”时，可以说12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。使用“倍数”时，只能说12是3的倍数，但不能说1.2是0.3的倍数，因为因子与倍数的关系只有在积分除法的情况下才能找到。

(3)引导学生自主探索寻找一个数的因子和倍数的方法。

一个数的因素是什么？倍数是多少？老师可以让学生先试着去找。学生第一次可能完全找不到，但出现问题时，学生会想:用什么方法找？什么时候开始的？这样，学生就可以在活动体验中逐步体会到寻找一个数的因子和倍数的方法，逐步体会到一个数的因子和倍数的特点。

(4)注意渗透集合思想。

教师可以借助集合圆展示一个数的因子或倍数，让学生更好地感受到一个数的因子数是有限的，一个数的倍数数是无限的。同时，也为用交集的形式表达两个数的公因子和公倍数奠定了基础。

四.推荐阅读

(1)小学数学知识树(刘开云，李彦谚，北京大学出版社，2008)

本书的第一部分《数与运算》和第二章《数的划分》介绍了与因子和倍数相关的知识。

(2)对“因子与乘法”教学内容的再思考(丁，小学数学，2008年第2期)

本文分析了这部分内容中相关概念之间的密切关系以及学习这部分内容对后续数学学习的意义，并深入思考了因子和倍数在中小学中的重要作用。

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